Sistemas de Numeración

Números Decimales y Binarios

Para seguir con este tema, es útil repasar esta sección: Desarrollos en base b (MD1)

El sistema numérico decimal es base $10$ , porque usa $10$ dígitos y los coeficientes se multiplican por potencias de $10$ .
El sistema binario es base $2$ , porque usa $2$ dígitos (los coeficientes solo pueden ser $0 \lor 1$ ).
Cada coeficiente $a_j$ se multiplica por $2^j$ .

Un número con punto decimal se representa con una serie de coeficientes:

10^{n}a_{n} + 10^{4}a_{4} + 10^{3}a_{3} + 10^{2}a_{2} + 10^{1}a_{1} + 10^{0}a_{0} + 10^{-1}a_{-1} + 10^{-2}a_{-2} + 10^{-3}a_{-3} + \ldots + 10^{-n}a_{-n}

Donde $a_{n}$ es el coeficiente más grande y $a_{-n}$ es el coeficiente más pequeño.
El punto decimal se usa para separar la parte entera de la parte fraccionaria.

El sistema binario sería:

\begin{aligned} &2^{n}a_{n} + 2^{4}a_{4} + 2^{3}a_{3} + 2^{2}a_{2} + 2^{1}a_{1} + 2^{0}a_{0} + 2^{-1}a_{-1} + 2^{-2}a_{-2} + 2^{-3}a_{-3} + \ldots + 2^{-n}a_{-n} \\ \end{aligned}

Un ejemplo de número decimal a binario es $13.62 = (1101)_{2}$ . En lugar de denominar a los binarios como binary digits se les llama bits.

Podemos realizar operaciones aritméticas con números binarios de la siguiente forma:

\begin{aligned} &\quad \; 1101 \\ &+1011 \\ &\quad \overline{11000} \\ &\\ &\quad \; 1101 \\ &-1011 \\ &\quad\overline{\;0010} \\ & \\ &\quad \; 1101 \\ &\times \;\; 101 \\ &\quad \overline{\;\; 1101} \\ &\quad 0000 \\ &\;\; 1101 \\ &\overline{\; 1000001} \\ \end{aligned}

Como no es posible $1+1=2$ en binario, se deja un $0$ y se lleva un $1$ al siguiente coeficiente.

Existen distintos registros (tamaños de bits) para representar números binarios, como los bytes ( $8$ bits).

Conversiones de base numérica

La conversión de una fracción decimal a un número en base $r$ , pero en lugar de dividir se multiplica por $r$ y se toma la parte entera.

Ejemplo: Convertir $0.6875$ a binario y a base $8$ .

\begin{aligned} 0.6875 \times 2 &= 1 + 0.375 &\implies a_{-1} = 1 \\ 0.375 \times 2 &= 0 + 0.75 &\implies a_{-2} = 0 \\ 0.75 \times 2 &= 1 + 0.5 &\implies a_{-3} = 1 \\ 0.5 \times 2 &= 1 + 0 &\implies a_{-4} = 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $0.6875 = (0.1011)_2$ .

\begin{aligned} 0.6875 \times 8 &= 5 + 0.5 &\implies a_{-1} = 5 \\ 0.5 \times 8 &= 4 + 0 &\implies a_{-2} = 4 \\ \end{aligned}

Tenemos que $0.6875 = (0.54)_8$ .

Números Octales y Hexadecimales

Las conversiones entre binario, octal y hexadecimal son fundamentales en las computadoras, ya que $2^3 = 8 \land 2^4 = 16$ . Por lo que cada dígito en octal representa $3$ bits y cada dígito en hexadecimal representa $4$ bits.

La siguiente tabla muestra los núemros con diferente base:

Decimal	Binario	Octal	Hexadecimal
$0$	$0000$	$0$	$0$
$1$	$0001$	$1$	$1$
$2$	$0010$	$2$	$2$
$3$	$0011$	$3$	$3$
$4$	$0100$	$4$	$4$
$5$	$0101$	$5$	$5$
$6$	$0110$	$6$	$6$
$7$	$0111$	$7$	$7$
$8$	$1000$	$10$	$8$
$9$	$1001$	$11$	$9$
$10$	$1010$	$12$	$A$
$11$	$1011$	$13$	$B$
$12$	$1100$	$14$	$C$
$13$	$1101$	$15$	$D$
$14$	$1110$	$16$	$E$
$15$	$1111$	$17$	$F$

Podemos hacer conversiones de base numérica acomodando los dígitos de forma correspondiente.

Ejemplo: Convertir $(1101.1011)_2$ a octal y hexadecimal.

\begin{aligned} (1101.1011)_2 &= (001 \; 101 \; .001 \; 011)_2 = (15.13)_8 = (D.5)_8 \\ &\\ (1101.1011)_2 &= (D.B)_{16} \end{aligned}

Puede darse el caso que el número no sea exactamente divisible por $3$ o $4$ , por lo que se agregan ceros a la izquierda (en la parte entera) o a la derecha (en la parte fraccionaria) para completar el número.

Ejemplo: Expresar $(11010011011011)_2$ y $(0.101101)_2$ en hexadecimal.

\begin{aligned} (11010011011011)_2 &= 1011 \; 0011 \; 0110 \; 11 = 1011 \; 0011 \; 0110 \; 0011 = (B36B)_{16} \\ &\\ (0.101101)_2 &= 1011 \; 01 = 1011 \; 0100 = (0.B4)_{16} \end{aligned}

Ejercicios resueltos - Conversión de base numérica

Convertir el siguiente número hexadecimal a binario de $32$ bits: $0x10A6F2B$

0x10A6F2B = (0001 \; 0000 \; 1010 \; 0110 \; 1111 \; 0010 \; 1011)_2 =

Convertir el siguiente número decimal a binario: $123$

\begin{aligned} 123 = 2 \cdot 61 + 1 \\ 61 = 2 \cdot 30 + 1 \\ 30 = 2 \cdot 15 + 0 \\ 15 = 2 \cdot 7 + 1 \\ 7 = 2 \cdot 3 + 1 \\ 3 = 2 \cdot 1 + 1 \\ 1 = 2 \cdot 0 + 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $123 = (1111011)_2$ .

Suponiendo que se tienen registros de $16$ bits, convertir el siguiente número decimal: $255,46$ a binario sin signo.

\begin{aligned} 255 = 2 \cdot 127 + 1 \\ 127 = 2 \cdot 63 + 1 \\ 63 = 2 \cdot 31 + 1 \\ 31 = 2 \cdot 15 + 1 \\ 15 = 2 \cdot 7 + 1 \\ 7 = 2 \cdot 3 + 1 \\ 3 = 2 \cdot 1 + 1 \\ 1 = 2 \cdot 0 + 1 \\ \end{aligned}

\begin{aligned} 0.46 \cdot 2 &= 0 + 0.92 \\ 0.92 \cdot 2 &= 1 + 0.84 \\ 0.84 \cdot 2 &= 1 + 0.68 \\ 0.68 \cdot 2 &= 1 + 0.36 \\ 0.36 \cdot 2 &= 0 + 0.72 \\ 0.72 \cdot 2 &= 1 + 0.44 \\ 0.44 \cdot 2 &= 0 + 0.88 \\ 0.88 \cdot 2 &= 1 + 0.76 \\ \end{aligned}

Tenemos que $255.46 = (11111111.01110101)_2$ .

Complementos

Los complementos son una forma de representar números negativos.
Dado un número $N$ en base $r$ con $n$ dígitos, el complemento a $(r - 1)$ es $(r^n - 1) - N$ .
En el caso de los binarios $r = 2 \land r - 1 = 1$ , por lo que el complemento a $1$ es $(2^n - 1) - N$ .

El complemento a $1$ se obtiene cambiando los $0$ por $1$ y los $1$ por $0$ .
El complemento a $2$ se obtiene sumando $1$ al complemento a $1$

Ejemplo:

El complemento a $1$ de $(1101)_2$ es $(0010)_2$ .
El complemento a $2$ de $(1101)_2$ es $(0011)_2$ .

En la definición anterior se considera que el número no lleva punto. De ser el caso, se quita temporalmente para formar el complemento a $1$ y luego se vuelve a colocar en su lugar.

Ejemplo:

El complemento a $1$ de $(1101.1011)_2$ es $(0010.0100)_2$ .

Podemos expresar un número decimal negativo a binario (negativos en complemento a $2$ ):

Ejemplo: Convertir $-63$ a binario, donde su tamaño de registro es de $8$ bits.

Primero calculamos el valor absoluto de $63$ en binario y agregamos ceros a la izquierda para completar los $8$ bits.

63 = (00111111)_2

Ahora obtenemos el complemento a $2$ de $(00111111)_2$ .

\begin{aligned} (00111111)_2 &\implies (11000000)_2 \\ +1 &\implies (11000001)_2 \end{aligned}

Por lo que $-63 = (11000001)_2$ .

Si quisiéramos aumentar el tamaño del registro, al ser negativo, se agregan unos a la izquierda.

Para hacer una resta entre dos números binarios, es más sencillo hacer el complemento a $2$ del sustraendo y sumar ambos números.

Ejercicios resueltos - Complementos

Suponiendo que un microprocesador utiliza registros de $8$ bits y representación de números negativos en complemento a $2$ , convertir el número decimal $-76$ a binario.

Primero calculamos el valor de $76$ en binario.

\begin{aligned} 76 = 2 \cdot 38 + 0 \\ 38 = 2 \cdot 19 + 0 \\ 19 = 2 \cdot 9 + 1 \\ 9 = 2 \cdot 4 + 1 \\ 4 = 2 \cdot 2 + 0 \\ 2 = 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 = 2 \cdot 0 + 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $76 = (01001100)_2$ , se agrega un cero a la izquierda para completar los $8$ bits. Ahora obtenemos el complemento a $1$ de $(01001100)_2$ .

(01001100)_2 \implies (10110011)_2

Ahora sumamos $1$ al complemento a $1$ para obtener el complemento a $2$ .

\begin{aligned} (10110011)_2 &\implies (10110011)_2 \\ +1 &\implies (10110100)_2 \end{aligned}

Por lo que $-76 = (10110100)_2$ .

Convertir el siguiente valor signado de $8$ bits a decimal: $(10010110)_2$ .

Revertimos la suma y obtenemos el complemento a $1$ de $(10010110)_2$ .

(10010110)_2 - 1 \implies (10010101)_2

Ahora cambiamos $1$ por $0$

(10010101)_2 \implies (01101010)_2

Ahora convertimos el número binario a decimal.

\begin{aligned} &= 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \\ &= 0 + 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 \\ &= 106 \end{aligned}

Con el signo negativo, tenemos que $(10010110)_2 = -106$ .

Dar el resultado de la operación $0x80$ - $0xD0$ en decimal, donde se usan registros de $8$ bits y representación de números negativos en complemento a $2$ .

Primero convertimos ambos números hexadecimales a binario

0x80 = (10000000)_2 \\ 0xD0 = (11010000)_2

Ahora obtenemos el complemento a $2$ de $(11010000)_2$

\begin{aligned} (11010000)_2 &\implies (00101111)_2 \\ +1 &\implies (00110000)_2 \end{aligned}

Ambos números en decimal son:

\begin{aligned} (10000000)_2 &= 2^7 = 128 \\ (00110000)_2 &= 2^5 + 2^4 = -48 \end{aligned}

La resta $0x80$ - $0xD0$ se puede expresar como $128 + (-48) = 80$ . En binario, $80$ es

\begin{aligned} 80 = 2 \cdot 40 + 0 \\ 40 = 2 \cdot 20 + 0 \\ 20 = 2 \cdot 10 + 0 \\ 10 = 2 \cdot 5 + 0 \\ 5 = 2 \cdot 2 + 1 \\ 2 = 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 = 2 \cdot 0 + 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $80 = (01010000)_2$ .

Números Flotantes

Los números flotantes son una representación de números reales extremadamente grandes o pequeños en notación científica. Este formato puede ser de precisión simple o doble, dependiendo de la cantidad de bits que se usen. En lenguajes como C se usan los tipos float y double para representarlos.

Su formato sería el siguiente:

x = (-1)^{s} \cdot (1 + F) \cdot 2^{E - B}

$s$ corresponde a un bit de signo.
$F$ es la mantisa, un número fraccionario. Si es de precisión simple, se usan $23$ bits y si es de precisión doble, se usan $52$ bits.
$E$ es el exponente, un número entero. Si es de precisión simple, se usan $8$ bits y si es de precisión doble, se usan $11$ bits. Su valor se calcula como $E = e + B$ , donde $e$ es el valor del exponente y $B$ es el sesgo.
El sesgo es un número que se le suma al exponente para que no sea negativo. En precisión simple, $B = 127$ y en precisión doble, $B = 1023$ .

Por ejemplo, el número $-13.625$ en precisión simple sería:

13.625 = 1101.1011

Para seguir el formato, necesitamos desplazar el $.$ cuantas veces sea necesario para solo tener una unidad entera. En este caso, tres veces $\implies e=3$

\begin{aligned} &= 1.1011011 \times 2^3 \\ &= 1.1011011 \times 2^{(130 - 127)} \end{aligned}

Tenemos que:

$s = 1$ (es negativo)
$F = 10110110000000000000000$ (agregamos ceros para llegar a $23$ bits)
$E = 130 = (10000110)_2$

Sumando todos los bits, tenemos $32$ bits. Agrupando $s, E, F$ (en ese orden) de a cuatro podemos dar con el número hexadecimal $0xC15A0000$

Infinitos y NaN

En los números flotantes, existen valores especiales como el infinito y el NaN (Not a Number).

El $\pm \infty$ se representa con exponente $= 111 \ldots 1$ , y mantisa $= 000 \ldots 0$ .
Este se utiliza cuando un número excede el rango de representación.

El NaN se representa con exponente $= 111 \ldots 1$ , y mantisa $\not=000 \ldots 0$ .
Este se utiliza cuando se realiza una operación inválida, como dividir por $0$ .

Ejercicios resueltos - Números flotantes

Convertir el siguiente número decimal a formato IEEE 754 de precisión simple: $5678$ (normalizado).

Primero convertimos el número decimal a binario.

\begin{aligned} 5678 = 2 \cdot 2839 + 0 \\ 2839 = 2 \cdot 1419 + 1 \\ 1419 = 2 \cdot 709 + 1 \\ 709 = 2 \cdot 354 + 1 \\ 354 = 2 \cdot 177 + 0 \\ 177 = 2 \cdot 88 + 1 \\ 88 = 2 \cdot 44 + 0 \\ 44 = 2 \cdot 22 + 0 \\ 22 = 2 \cdot 11 + 0 \\ 11 = 2 \cdot 5 + 1 \\ 5 = 2 \cdot 2 + 1 \\ 2 = 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 = 2 \cdot 0 + 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $5678 = (1011000101110)_2$ . Ahora identificamos los valores de $s, F, E$ .

$s = 0$ (es positivo)

Este número no tiene parte fraccionaria, por lo que el desplazamiento del punto es de $e = 12 \implies 1.011000101110$

$F = 01100010111000000000000$ (agregamos ceros para llegar a $23$ bits)

Finalmente, calculamos el valor de $E$ .

\begin{aligned} E &= e + B \\ &= 12 + 127 \\ &= 139 = 2^7 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = (10001011)_2 \end{aligned}

El número $5678$ en formato IEEE 754 de precisión simple es $(0 \; 10001011 \; 01100010111000000000000)_2$ .

Convertir el siguiente número decimal a formato IEEE 754 de precisión simple: $-3020.993$ (normalizado).

Primero convertimos el número decimal a binario. Este número tiene parte entera y parte fraccionaria, por lo que se convierten por separado.
La mantisa debe tener $23$ bits, por lo que nos interesan los primeros $24$ bits para hacer el desplazamiento del punto.

\begin{aligned} 3020 = 2 \cdot 1510 + 0 \\ 1510 = 2 \cdot 755 + 0 \\ 755 = 2 \cdot 377 + 1 \\ 377 = 2 \cdot 188 + 1 \\ 188 = 2 \cdot 94 + 0 \\ 94 = 2 \cdot 47 + 0 \\ 47 = 2 \cdot 23 + 1 \\ 23 = 2 \cdot 11 + 1 \\ 11 = 2 \cdot 5 + 1 \\ 5 = 2 \cdot 2 + 1 \\ 2 = 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 = 2 \cdot 0 + 1 \\ \end{aligned}

Tenemos que $3020 = (101111001100)_2$ . Ahora convertimos la parte fraccionaria.

\begin{aligned} 0.993 \cdot 2 &= 1 + 0.986 \\ 0.986 \cdot 2 &= 1 + 0.972 \\ 0.972 \cdot 2 &= 1 + 0.944 \\ 0.944 \cdot 2 &= 1 + 0.888 \\ 0.888 \cdot 2 &= 1 + 0.776 \\ 0.776 \cdot 2 &= 1 + 0.552 \\ 0.552 \cdot 2 &= 1 + 0.104 \\ 0.104 \cdot 2 &= 0 + 0.208 \\ 0.208 \cdot 2 &= 0 + 0.416 \\ 0.416 \cdot 2 &= 0 + 0.832 \\ 0.832 \cdot 2 &= 1 + 0.664 \\ 0.664 \cdot 2 &= 1 + 0.328 \\ \end{aligned}

$s = 0$ (es positivo)

El número $3020,993 = (101111001100.111111100011)_2$ . El desplazamiento del punto es de $e = 11 \implies 1.011110011001111111100011$

$F = 01111001100111111110001$

Finalmente, calculamos el valor de $E$ .

\begin{aligned} E &= e + B \\ &= 11 + 127 \\ &= 138 = 2^7 + 2^3 + 2^2 + 2^1 = (10001010)_2 \end{aligned}

El número $-3020.993$ en formato IEEE 754 de precisión simple es $(1 \; 10001010 \; 01111001100111111110011)_2$ .