Sistemas Lineales

Se denomina un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas a:

\begin{array}{cccc} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = y_1 \\ \vdots \hphantom{a_{11}x_1 + a_{1n}x_n} \vdots \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = y_m \end{array}

Tal que $y_1, \ldots, y_m, \; a_{ij} \; (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) \in \mathbb{K}$ .
La $n$ -tupla $(x_1, \ldots, x_n) \in \KK^n$ que satisface cada ecuación es la solución del sistema

El sistema es homogéneo si $y_i = 0 \; \forall i$ , y no homogéneo si $\exists i$ tal que $y_i \not=0$

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales

La matriz $A \in \KK^{m \times n}$ definida por $A_{ij} = a_{ij}$ se llama matriz asociada al sistema.

Un sistema homogéneo asociado a un sistema no homogéneo se obtiene al igualar a cero todos los términos independientes.

Operaciones elementales de fila

Dado a un sistema lineal homogéneo, estos cambios en las ecuaciones dan sistemas equivalentes:

Intercambiar dos ecuaciones de lugar.
Multiplicar una ecuación por una constante no nula.
Reemplazar una ecuación por ella misma más un múltiplo de otra.

En un sistema lineal no homogéneo se aplican incluyendo a los términos independientes.

Si el conjunto de soluciones del sistema es la intersección de los conjuntos de soluciones de cada ecuación, entonces intercambiar dos ecuaciones corresponde a intercambiar dos conjuntos en la intersección, lo cual no afecta el resultado (al ser conmutativa la intersección).
Si $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \KK^n$ es solución de:

(*) = \begin{cases} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

Multiplicando la $i$ -ésima ecuación por $\lambda \in \KK, \; \lambda \not= 0$ se obtiene:

(**) = \begin{cases} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ \lambda a_{i1}x_1 + \ldots + \lambda a_{in}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

$x$ es solución de todas las ecuaciones que no fueron modificadas, además que:

\lambda a_{i1}x_1 + \ldots + \lambda a_{in}x_n = \lambda (a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n) = \lambda \cdot 0 = 0

Luego $x$ es solución de $(**)$ . Multiplicando la $i$ -ésima ecuación por $\frac{1}{\lambda}$ se obtiene el sistema $(*)$ y un razonamiento análogo muestra que $x$ es solución de $(*)$ . Por lo tanto, los sistemas son equivalentes.

La tercer operación se justifica de manera similar, sean la $i$ -ésima y $j$ -ésima ecuaciones de $(*)$ :

\begin{aligned} a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n &= 0 \\ a_{j1}x_1 + \ldots + a_{jn}x_n &= 0 \end{aligned}

Sustituyendo la $i$ -ésima ecuación por la suma de ambas multiplicando la $j$ -ésima por $\lambda \in \KK$ se obtiene:

(a_{i1} + \lambda a_{j1})x_1 + \ldots + (a_{in} + \lambda a_{jn})x_n = 0

Por lo tanto,

(a_{i1} + \lambda a_{j1})x_1 + \ldots + (a_{in} + \lambda a_{jn})x_n = (a_{i1}x_1 + \ldots + a_{in}x_n) + \lambda (a_{j1}x_1 + \ldots + a_{jn}x_n) = 0 + \lambda \cdot 0 = 0

Si tenemos una matriz $A$ asociada al sistema $H$ aplicar estas operaciones en $H$ equivale a hacerlo en la matriz $A$ .

Sea $H$ un sistema lineal homogéneo de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas. Aplicando los cambios puede obtenerse un sistema lineal homogéneo $H_0$ cuya matriz $B$ es triangular superior, es decir, tal que $B_{ij} = 0$ si $i > j$ .

Sea $H$ un sistema lineal no homogéneo con soluciones y $S$ el subespacio de $K^n$ soluciones del sistema homogéneo asociado, y sea $p$ solución particular de $H$ .
El conjunto de soluciones $M$ de $H$ es: $M = S + p = \{ s + p \; | \; s \in S \}$ .

Demostración:

$(\subseteq)$ $z \in M$ . Escribimos: $z = (z - p) + p$ , veamos que $s = (z - p) \in S$
Si $z = (z_1, \dots, z_n)$ y $p = (p_1, \dots, p_n)$ , se tiene que $s = (z_1 - p_1, \dots, z_n - p_n)$ Luego, $\forall i = 1, \dots, m$

\begin{aligned} &a_{i1}(z_1 - p_1) + \dots + a_{in}(z_n - p_n) \\ &= a_{i1}z_1 + \dots + a_{in}z_n - a_{i1}p_1 - \dots - a_{in}p_n \\ &= y_i - y_i = 0 \\ &\; \\ &\implies s \in S \\ \end{aligned}

$(\supseteq)$ Sea $z = s + p$ , con $s \in S$ .
Si $s = (s_1, \dots, s_n)$ y $p = (p_1, \dots, p_n) \Rightarrow z = (s_1 + p_1, \dots, s_n + p_n)$ Para $i = 1, \dots, m$

\begin{aligned} &a_{i1}(s_1 + p_1) + \dots + a_{in}(s_n + p_n) \\ &= a_{i1}s_1 + \dots + a_{in}s_n + a_{i1}p_1 + \dots + a_{in}p_n \\ &= 0 + y_i = y_i \\ &\; \\ &\implies z \in M \\ \end{aligned}

Ejercicios resueltos - Sistemas lineales

Hallar un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en $\RR$ tal que su conjunto de soluciones sea
$\{(1 - t, 2 + t, 3 + 2t \; | \; t \in \RR )\}$

Despejo $t$ y sustituyo su valor:

\begin{aligned} x &= 1 - t \implies t = - x + 1 \\ y &= 2 + t \implies y = 2 + (-x + 1) = -x + 3 \\ z &= 3 + 2(-x + 1) \implies z = 5 - 2x \end{aligned}

Ahora defino el sistema como:

\begin{cases} y + x = 3 \\ z + 2x = 5 \end{cases}

Encontrar los coeficientes de la parábola $y = ax^2 + bx + c$ que pasa por los puntos $(1, 2), (2, 7), (3, 14)$

Sustituyendo los valores de $x, y$ tenemos:

\begin{aligned} 2 &= a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 2 \\ 7 &= a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = 7 \\ 14 &= a(3)^2 + b(3) + c \implies 9a + 3b + c = 14 \end{aligned}

Tenemos el sistema:

\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 7 \\ 9a + 3b + c = 14 \end{cases}

Ahora buscamos los valores de $a, b, c$ definiendo el mismo sistema como matriz.

\begin{aligned} &\implies \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 7 \\ 9 & 3 & 1 & 14 \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}

Los coeficientes de la parabola son: $a = 1, \; b = 2, \; c = -1$

Hallar todas las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones sobre $\ZZ_{11}$

\begin{cases} 2x - y = 9 \\ 3x + 2y = 6 \end{cases}

La matriz $A$ equivalente al sistema es:

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 2 & -1 & 9 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}

Buscamos que el elemento $a_{11} \in \KK$ sea $1$ . Lo cual en $\ZZ_{11}$ es:

\begin{aligned} 2 \cdot x &\equiv 1 \; \pmod{11} \\ &\; \\ 12 &\equiv 1 \; \pmod{11} \\ 2 \cdot 6 &\equiv 1 \; \pmod{11} \end{aligned}

Por lo tanto, multiplico la primer fila por $6$ . Tal que:

\begin{aligned} 12 &\equiv 1 \; \pmod{11} \\ -6 &\equiv 5 \; \pmod{11} \\ 54 &\equiv 10 \; \pmod{11} \\ &\; \\ F_1 \rightarrow 6F_1 &\begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 12 & -6 & 54 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{array} \end{bmatrix} \\ = &\begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 10 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}

Ahora aplico Gauss.

\begin{aligned} F_2 \rightarrow F_2 -3F_1 &\begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 10 \\ 0 & 9 & 9 \\ \end{array} \end{bmatrix} \\ = &\begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 1 & 5 & 10 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \end{bmatrix} \\ F_1 \rightarrow F_1 - 5F_2 &\begin{bmatrix} \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}

Por lo tanto, tenemos que: $x \equiv 5, y \equiv 1 \pmod{11}$

Encontrar todos los valores de $a \in \RR$ tales que el siguiente sistema tiene al menos una solución:

\begin{cases} x - y + 2z = 2 \\ 3y -z = a + 1 \\ 8x + 4y + 12z = a \end{cases}

Para cada valor de $a$ hallado, encontrar todas las soluciones.

Defino la matriz equivalente $A$ al sistema:

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & -1 & a + 1 \\ 8 & 4 & 12 & a \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}

Aplico Gauss:

\begin{aligned} F_3 \rightarrow F_3 - 8F_1 & \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & -1 & a + 1 \\ 0 & 12 & -4 & a - 16 \end{array} \end{bmatrix} \\ F_3 \rightarrow \frac{1}{4}F_3 & \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & -1 & a + 1 \\ 0 & 3 & -1 & \frac{a}{4} - 4 \end{array} \end{bmatrix} \\ F_3 \rightarrow F_3 - F_2 & \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & -1 & a + 1 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3a}{4} - 5 \end{array} \end{bmatrix} \end{aligned}

Para que el sistema tenga solución debe cumplirse que $- \frac{3a}{4} - 5 = 0$ , es decir:

\begin{aligned} -5 &= \frac{3a}{4} \\ -20 &= 3a \\ - \frac{20}{3} &= a \end{aligned}

Ahora sustituimos el valor tal que:

\begin{aligned} 3y -z &= a + 1 \\ 3y - z &= - \frac{20}{3} + 1 \\ 3y &= - \frac{17}{3} + z \\ y &= - \frac{17}{9} + \frac{z}{3} \\ &\; \\ x &= y - 2z + 2 \\ x &= - \frac{17}{9} + \frac{z}{3} - 2z + 2 \\ x &= \frac{1}{9} - \frac{5z}{3} \end{aligned}

La variable $z$ puede tener cualquier valor real. Por lo tanto, sea $t \in \RR$ el conjunto solución es:

(x, y, z) = (\frac{1}{9} - \frac{5t}{3}, -\frac{17}{9} + \frac{t}{3}, t)