Espacio Dual

Sea $V$ un $\KK$ -espacio vectorial. El espacio dual de $V$ , denotado por $V^*$ , es el conjunto de todas las transformaciones lineales de $V$ en $\KK$ . Es decir, $V^* = \text{Hom}_\KK(V, \KK) = \{ T : V \rightarrow \KK \; | \; T \; \textnormal{es transformación lineal} \}$ .
Cada $T \in V^*$ se llama funcional lineal.

Si $\dim V = n$ entonces existe un isomorfismo entre $V*$ y $\KK^n$ . Luego $\dim V^* = n$ .

Ejemplo: $V = \KK^n, a_1, \ldots, a_n \in \KK \implies T(x_1, \ldots, x_n) = \displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i x_i}$ es un funcional lineal.

En particular, sea $\delta_i$ el funcional lineal consitituido con $a_i = 0 = a_j, \;\; j \not= i$
i.e. $\quad \delta_i(x_1, \ldots, x_n) = x_i \implies T = a_1 \delta_1 + \ldots + a_n \delta_n$ .

Luego, $\{\delta_1, \ldots, \delta_n\}$ es una base de $V^*$ tal que:

\delta_i(0, \ldots, 1, \ldots, 0) = \begin{cases} 1 ,& j = i \quad = \delta_{ij} \\ 0 ,& j \not= i \end{cases}

Donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker.

Base Dual

Sea $V$ un $\KK$ -espacio vectorial de dimensión $n$ , $B = \{ \bfv_1, \ldots, \bfv_n \}$ una base de $V$ .
Existe una única base $B^* = \{ \varphi_1 , \ldots, \varphi_n \}$ de $V^*$ tal que:

\varphi_i(\bfv_j) = \begin{cases} 1, & i= j \\ 0, & i \not= j \end{cases}

$B^*$ se llama base dual de $B$ .

Demostración:

Para cada $i = 1, \ldots, n, \; \exists\varphi_i \;\;V \rightarrow \KK$ una transfromación lineal tal que:

$\varphi_i(\bfv_i) = 1$
$\varphi_i(\bfv_j) = 0, \; j \not= i$

Dado que $\dim V^* = n$ para probar que $B^* = \{ \varphi_1, \ldots, \varphi_n \}$ es base veremos que es l.i:

Sean $a_1, \ldots, a_n \in \KK$ tal que $0 = a_1 \cdot \varphi_1, \ldots, a_n \cdot \varphi_n$ (el funcional lineal nulo). Entonces:

\begin{aligned} 0 &= (a_1 \cdot \varphi_1 + \ldots + a_n \cdot \varphi_n)(\bfv_i) \\ 0 &= a_1 \cdot \varphi_1(\bfv_i) + \ldots + a_n \cdot \varphi_n(\bfv_i) \\ 0 &= a_i \cdot \varphi_i(\bfv_i) \\ 0 &= a_i \cdot 1 \\ 0 &= a_i \end{aligned}

$a_i = 0, \therefore \{ \varphi_1, \ldots, \varphi_n \}$ es l.i. y $B^*$ es base.

Ejemplo:

Si $V = \KK^n, \; E = \{ \mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n \}$ es la base canónica de $\KK^n$ entonces su base dual es $E^* = \{ \delta_1, \ldots, \delta_n \}$ donde $\delta_i(\mathbf{e}_{j}) = \delta_{ij}$ .

En $\RR^2$ si tenemos la base $B = \{ (2, 1), (-1, 0) \}$ , su base dual es $B^* = \{ \varphi_1, \varphi_2 \}$ donde:

\begin{aligned} (x, y) &= y \cdot (2, 1) + (2y - x) \cdot (-1, 0) \\ \varphi_1(x, y) &= \varphi_1(y \cdot (2, 1) + (2y - x) \cdot (-1, 0)) \\ \varphi_1(x, y) &= y \cdot \varphi_1 (2, 1) + (2y - x) \cdot \varphi_1 (-1, 0) \\ &= y \\ &\; \\ \implies \varphi_1 (x, y) &= y \end{aligned}

Análogamente, $\varphi_2 (x, y) = (2y - x)$

Ejercicios resueltos - Espacio Dual

Sean $B = \{v_1, v_2, v_3\}$ , donde $v_1 = (1, 0, 1), v_2 = (0, 1, -2), v_3 = (-1, -1, 0)$ en $\mathbb{R}^3$

Encontrar la base dual $B^*$ de $B$ .
Sea $f \in (\mathbb{R}^3)^*$ tal que $f(v_1) = f(v_2) = 0$ y $f(v_3) = 1$ .
Hallar $f(x, y, z)$ y dar sus coordenadas en la base dual de $B$ .

Defino la siguiente combinación lineal de los vectores:

(x, y, z) = a_1 \cdot (1, 0, 1) + a_2 \cdot (0, 1, -2) + a_3 \cdot (-1, -1, 0)

Lo cual nos da el sistema:

\begin{cases} x = a_1 - a_3 \\ y = a_2 - a_3 \\ z = a_1 - 2a_2 \end{cases}

Resolviéndolo obtenemos:

\begin{aligned} a_1 &= 2x - 2y - z \\ a_2 &= x - y - z \\ a_3 &= x - 2y - z \\ \end{aligned}

Luego, la base dual $B^* = \{ \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \}$ donde:

\begin{aligned} \varphi_1 (x, y, z) &= 2x - 2y - z \\ \varphi_2 (x, y, z) &= x - y - z \\ \varphi_3 (x, y, z) &= x - 2y - z \\ \end{aligned}

Con respecto a $f$ , sabemos que $f$ es funcional lineal tal que:

\begin{aligned} f(x, y, z) &= ax + by + cz \\ f(v_1) &= a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \implies a + c = 0 \\ f(v_2) &= a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot (-2) = 0 \implies b - 2c = 0 \\ f(v_3) &= a \cdot (-1) + b \cdot (-1) + c \cdot 0 = 1 \implies -a - b = 1 \\ \end{aligned}

Lo cual nos da el sistema:

\begin{cases} a + c = 0 \\ b - 2c = 0 \\ -a - b = 1 \\ \end{cases}

Resolviéndolo obtenemos:

\begin{aligned} a &= -c \\ b &= 2c \\ c - 2c &= 1 \implies -c = 1 \implies c = -1 \\ \end{aligned}

Luego, $a = 1, b = -2, c = -1$ y por lo tanto:

f(x, y, z) = x - 2y - z

Sus coordenadas en la base dual de $B$ son $(0, 0, 1)$ .