Matrices

Sean $m, n \in \NN$. El conjunto de las matrices de $m$ filas y $n$ columnas con coeficientes en un cuerpo $\KK$ es

Operaciones y Propiedades de Matrices

Igualdad de Matrices

Sean $A, B \in \KK^{m \times n}$. Decimos que $A = B \iff A_{ij} = B_{ij}\;$ donde $1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq n$.

Operaciones con Matrices

Pueden definirse la suma de matrices $\KK^{m \times n}$ y la acción de producto por escalares de $\KK$ en $\KK^{m \times n}$ de la siguiente manera:

Tenemos que $(\KK^{m \times n}, +, \cdot)$ es un $\KK$-espacio vectorial.

Dados $A \in \KK^{m \times n}, \; B \in \KK^{n \times r}$, El producto de $A$ por $B$ es la matriz $C \in \KK^{m \times r}$ definida por:

Propiedades del Producto de Matrices

• P1) Asociatividad: Para $A \in \KK^{m \times n}, \; B \in \KK^{n \times r}, \; C \in \KK^{r \times s}$, se cumple que $(AB)C = A(BC)$.
• P2) Matriz Identidad: Sean $n \in \NN, \; I_n \in \KK^{n \times n}$ la matriz identidad, definida por:

Para $A \in \KK^{m \times n}$, se verifica: $I_m \cdot A = A$ y $A \cdot I_n = A$.

P3) Distributividad:

• 1) Para $A \in \KK^{m \times n}, \; B, C \in \KK^{n \times r}$, se cumple que $A(B + C) = AB + AC$.
• 2) Para $A, B \in \KK^{m \times n}, \; C \in \KK^{n \times r}$, se cumple que $(A + B)C = AC + BC$.

Matriz canónica

Sean $m, n \in \NN$ y $1 \leq k \leq m, \; 1 \leq l \leq n$. Las matrices canónicas $E^{kl} \in \KK^{m \times n}$ son definidas por:

K-álgebra

Sea $K$ un cuerpo y $A$ un conjunto con operaciones $+, \cdot$ y una acción $\cdot_\KK$ de $\KK$ en $A$.
Se dice que $A$ es una $\KK$-álgebra si se cumplen las siguientes condiciones:

• $(A, +, \cdot)$ es un anillo.
• $(A, +, \cdot_\KK)$ es un $\KK$-espacio vectorial.
• $(\lambda \cdot_\KK X) \cdot Y = \lambda \cdot_\KK (X \cdot Y) = X \cdot (\lambda \cdot_\KK Y), \; \forall X, Y \in A, \; \forall \lambda \in \KK$.

Matriz Equivalente por Filas

Sean $A, B \in \KK^{m \times n}$. Decimos que $A$ es equivalente por filas a $B$ si puede obtenerse $B$ a partir de $A$ mediante una sucesión finita de operaciones elementales por filas. Su notación es: $A \sim B$.

Las operaciones por filas se corresponden a operaciones entre ecuaciones del sistema homogéneo $Ax = 0$

Sean $A, B \in \KK^{m \times n}$ equivalentes por filas, los sistemas homogéneos $Ax = 0, \; Bx = 0$ tienen las mismas soluciones.

Demostración:

Como $A, B$ son equivalentes, existe una sucesión finita ($n$) de operaciones elementales por fila que lleva la matriz $A$ a la matriz $B$.

(Con $E_i$ una operación elemental por filas)

Como las operaciones elementales permutan filas o realizan combinaciones lineales de filas, es claro que las ecuaciones de $A_ix = 0$ son combinaciones lineales de las ecuaciones de $A_{i-1}x = 0$. Concluimos que $A_i$ y $A_{i-1}$ determinan sistemas de ecuaciones equivalentes para $1 \leq i \leq n$. Luego, $A_0x = 0$ y $A_1x = 0$ son sistemas equivalentes, y así sucesivamente, hasta llegar a que $A_nx = 0$ es equivalente. Luego, $Ax = 0$ y $Bx = 0$ son sistemas equivalentes.

Matriz Transpuesta

Sea $A \in \KK^{m \times n}$. La matriz transpuesta de $A$, denotada por $A^t$, es la matriz en $\KK^{n \times m}$ definida por
$(A^t)_{ij} = A_{ji}, \; 1 \leq i \leq n, \; 1 \leq j \leq m$.

Ejemplo:

Traza de una Matriz

Sea $A \in \KK^{n \times n}$. La traza de $A$ se nota por $tr(A)$ y se define como: $tr(A) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}} A_{ii}$.

Ejemplo:

Matriz Inversible

Sea $A \in \KK^{n \times n}$. Se dice que $A$ es inversible si $\exists B \in \KK^{n \times n}$ tal que $AB = BA = I_n$.
En este caso, $B$ es la matriz inversa de $A$ y se denota como $B = A^{-1}$

Una matriz $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ es inversible $\iff ad - bc \not= 0$

Si $A, B \in \KK^{n \times n}$ son inversibles no necesariamente $A + B$ es inversible.

Observemos que, si $n = 2$ y $A, B$ fueran respectivamente:

Su suma no es inversible.

Si $A, B \in \KK^{n \times n}$ son inversibles su producto $A \cdot B$ es inversible:

Si $A, B \in \KK^{n \times n}$ son inversibles, entonces $A \sim B \iff \exists P \in \KK^{n \times n}$ inversible tal que $B = P \cdot A$.

Demostración:

($\Rightarrow$) Si $A \sim B$, vimos que $\exists P$ producto de matrices elementales tal que $B = P \cdot A$.
$P$ resulta invertible pues las matrices elementales lo son.

($\Leftarrow$) Si $B = P \cdot A$, con $P$ invertible. El teorema anterior nos dice que $P$ es producto de matrices elementales.
$\therefore A \sim B$

Matriz Elemental

Una matriz $n \times n$ es elemental si se obtiene por una única operación elemental a partir de la matriz identidad $Id_n$. Todas las matrices elementales son invertibles.

Toda matriz elemental es inversible.

** Demostración:**

Sea $E$ la matriz elemental con operación $e$. Luego, $E = e(Id_n)$. Sea $e'$ la operación elemental tal que:

Sea $E' = e'(Id_n)$. Entonces:

Tenemos que $E' = E^{-1}$.

Matriz MRF

Una matriz $A \in \KK^{m \times n}$ está en forma reducida por filas (MRF) si cumple las siguientes condiciones:
1 ) La primera entrada no nula de una fila es $1$, llamado 1 principal 2 ) Cada columna que contiene un 1 principal tiene todos los otros elementos iguales a $0$

Ejemplos:

Matriz MERF

Una matriz $A \in \KK^{m \times n}$ está en forma escalonada reducida por filas (MERF) si cumple las siguientes condiciones:
1 ) Es reducida por filas (MRF)
2 ) Las filas nulas (si las hay) están debajo de las filas no nulas
3 ) En cada fila no nula, el primer elemento no nulo está a la derecha del pivote de la fila anterior.

Ejemplos:

Toda matriz $A \in \KK^{m \times n}$ es equivalente por filas a una MERF.

Demostración:

Probamos que $A$ es equivalente por filas a $B \in \KK^{m \times n}$ con $B$ MRF.

Consideremos la primera fila de $A$. Si es nula, no hacemos nada. Si no lo es, entonces tiene la forma

Mutliplicamos la primera fila por $(a_{1j})^{-1}$ y obtenemos:

Ahora para cada $k \geq 2$ hacemos: $[F_k - (a_{kj} \cdot F_1)]$

Pasamos a la fila dos de $A_1$: si es nula, no hacemos nada. Si no lo es, multiplicamos la segunda fila por $(a_{2l})^{-1}$, donde $l$ es el índice del primer elemento no nulo de la fila dos. Luego, para cada $k \geq 3$ hacemos: $[F_k - (a_{kl}' \cdot F_2)]$ y obtenemos $A_2$. Observemos que $a_{2l}'' = 1$ y que $a_{kl}'' = 0$. si $k \not= 2$.

Notar que la columna $j$ queda inalterada. Luego las operaciones por fila dejan $a_{2j}' = 0$ y por ende $l \not = j$. Luego las operaciones por fila dejan $a_{1j}'' = 1, a_{kj}'' = 0, \; \forall k \not = j, \; k \geq 2$.

Asi, luego de $m$ pasos obtenemos $B = Am$, donde cada fila $k$ o bien es nula o su primer elemento es $1$ y los demás restantes de la columna son $0$.

Paso 2: Toda MRF es equivalente por filas a una MERF (y así $A$ es equivalente por filas a una MERF).
Basta con permutar las filas nulas por las últimas filas y reordenar lass filas $1, \ldots, r$ de modo que si el $1$ principal de la fila $i$ está en la columna $k_i$, para $i = 1, \ldots, r \implies k_1 < \ldots < k_r$.

Sea $A \in \KK^{m \times n}$. Entonces $A \sim Id_n \iff$ el sistema homogéneo $Ax = 0$ tiene solo solución trivial.

Demostración:

Supongamos que $Ax = 0$ tiene solo la solucion trivial. Sea $B$ una MERF $A \sim B$.

Como $Bx = 0$ tiene solo la solución trivial no hay variables libres. Es decir, si $B$ tiene $r$ filas no nulas $\implies n - r = 0 \implies r = n$. Cada fila $i$ de esas tiene un $1$ en la posición $k_i$ con $k_1 < \ldots < k_n$. Luego $k_1 = 1, \ldots, k_n = n$. Por lo tanto, $B = Id_n$.

Si $A \sim Id_n$, entonces las soluciones de $Ax = 0$ coinciden con las de $Id_n x = 0$, esto es:

Matriz Cuadrada

Una matriz $A \in \KK^{n \times n}$ es cuadrada si tiene el mismo número de filas y columnas.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una matriz cuadrada $A \in \KK^{n \times n}$:

1) $A$ es inversible.
2) $A$ es equivalente por filas a $Id_n$.
3) $A$ es producto de matrices elementales.

Demostración:

Sea $R$ una MERF tal que $A \sim R$. Del teorema anterior, $\exists E_1, \ldots, E_k$ matrices elementales tal que:

Como $R \in \KK^{n \times n}$, tenemos dos casos respecto a la cantidad de filas no nulas $r$ de $R$:

• $r = n \implies$ hay $n$ principales/pivotes en $R, \therefore R = Id_n$.
• $r < n \implies$ con lo cual $R$ tiene al menos una fila nula.

1) $\implies$ 2) Si $A$ es inversible, entonces $R$ también lo es, por $(*)$, $R$ es producto de matrices invertibles.
Si $R$ tuviera una fila nula, entonces:

Lo cual es una contradicción. Por lo tanto vale $R = Id_n$.

2) $\implies$ 3) Si $A \sim Id_n$, entonces $Id_n = E_k \ldots E_1 \cdot A$. Multiplicando por $E_1^{-1} \ldots E_k^{-1}$ se obtiene:
$A = E_1^{-1} \ldots E_k^{-1}$, cada $E_i^{-1}$ es matriz elemental.

3) $\implies$ 1) Si $A$ es producto de matrices elementales, entonces $A$ es invertible por ser producto de matrices invertibles.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una matriz cuadrada $A \in \KK^{n \times n}$:

1) $A$ es inversible.
2) El sistema homogéneo $Ax = 0$ tiene solo la solución trivial.
3) Para todo $b \in \KK^{n \times 1}$, el sistema $Ax = b$ tiene solución.

Demostración:

1) $\implies$ 2) Si $A$ es inveritble y $x_0$ es solución del sistema $Ax = 0$ entonces:

2) $\implies$ 1) Puede probarse con la contrarrecíproca: Si $A$ no es inversible, entonces $A$ no es equivalente por filas a la identidad. Luego si $A \sim R$, con $R$ MERF, $R$ tiene al menos una fila nula. Entonces el sistema $Rx = 0$ tiene soluciones no triviales, con lo cual $Ax = 0$ tiene soluciones no triviales.

3) $\implies$ 1) Si $A$ no es inversible, entonces $A$ no es equivalente por filas a la identidad, luego si $A \sim R$ con $R$ MERF, $R$ tiene al menos una fila nula y $A = P \cdot R$ con $P$ inversible. Luego tenemos:

El sistema $Rx = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ no tiene solución pues la última fila de $R$ es nula. Luego si consideramos $b = P \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, el sistema $Ax = b$ no tiene solución.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una matriz cuadrada $A \in \KK^{n \times n}$:

1) $A$ es inversible.
2) $\exists B \in \KK^{n \times n}$ tal que $A \cdot B = I_n$.
3) $\exists C \in \KK^{n \times n}$ tal que $C \cdot A = I_n$.

Demostración:

1) $\implies$ 2) y 1) $\implies$ 3) Por definición de matriz inversa.

3) $\implies$ 1) Si $x_0$ es solución de $Ax = 0$, entonces:

Luego, por el teorema anterior, $A$ es inversible.

2) $\implies$ 1) Sea $b \in \KK^{n \times 1}$. Entonces, si $x_0 = B \cdot b$:

Luego, $x_0$ es solución del sistema $Ax = b$.